Задание 2
Миша заполнял таблицу истинности логической функции F
¬(w → x) ∨ (¬z → ¬y) ∨ z,
но успел заполнить лишь фрагмент из трех различных ее строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
| F | ||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 |
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Теория
Для решения подобных задач необходимо хорошо знать таблицы истинности основных логических операций (первые 5 из приведенной таблицы). Исключающее или, стрелка Пирса и штрих Шеффера в ЕГЭ отсутствуют! Также необходимо уметь преобразовывать логические выражения. Основные логические операции приведены в Материалы - Алгебра логики.
Универсальный способ решения данного типа задач заключается в анализе исходного логического выражения - расположение одной из переменных находится сразу. Далее, если затруднительно определить другие переменные, составьте таблицу истинности (всего 8 строк) для оставшихся трех переменных и заполните значения для функции. При необходимости преобразуйте импликацию. Далее проанализируйте эту таблицу и определите столбцы, соответствующие оставшимся трем переменным.
Возможно составление этой таблицы с помощью программы - трата времени.
Решение
Анализируя исходное логическое выражение, видно, что z - второй столбец (только 0). Удобно преобразовать импликацию и использовать отрицание дизъюнкции (1-я скобка).
| z | F | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | 0 |
¬(w → x) ∨ (¬z → ¬y) = ¬(¬w ∨ x) ∨ (¬¬z ∨ ¬y) = (w ∧ ¬x) ∨ z ∨ ¬y.
Очевидно, что y должен быть только 1, но подходят 3 столбца (1, 3 и 4). Также если w = 1, то и x должен быть равен 1. Поэтому для простоты составляем таблицу истинности для выражения (w ∧ ¬x) ∨ ¬y. Это очень быстро - все строчки, где y = 0 дадут для функции F значения 1.
| w | x | y | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
6 - я строка таблицы дает для функции F значение 1 и остаются только три строки. Для 2-й строки w = x = 0, а это возможно только в случае если 3 и 4 столбцы w и x или наоборот x и w, значит y - 1-й столбец исходной таблицы.
| y | z | F | ||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Очевидно, что x будет третьим столбцом, а w - четвертым (по 4-й строке составленной вами таблицы).
Ответ
yzxw (Время не более 5 минут)