Задание 15

Пример 1

Для какого наименьшего целого числа А формула
(x ≥ 20) \/ (y ≥ 40) \/ (y ≤ x + A) \/ (y ≥ 3x - A)
тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Теория

Данное задание заключается в умении анализировать логические выражения и подборе необходимого диапазона чисел или значения. Виды задач бывают с числами (делимость), с областями на плоскости, с отрезками на прямой и утверждениями (например существует ли треугольник). Быстро данный вид задач - с указанными отрезками или областями на плоскости можно решить аналитически. Основные логические операции приведены в Материалы - Алгебра логики.

Решение

Пример 1

Аналитический способ

Проанализируем данное выражение от обратного. Дизъюнкция ложна только в случае, если каждая из скобок принимает значение ложь (0). Сдающим ЕГЭ по Математике это напоминает задание 11 и задание 18 (упрощенное). Изобразим графически все области (на рисунке масштаб по горизонтали и вертикали не соблюден).

Видно, что для всех целых точек в залитой области при A=0 выражение ложно (не включая прямые x=20 и y=40!). Правая верхняя точка в этой области - A с координатами x=19 и y=39. Подставляя координаты этой точки в 3 и 4 уравнения получаем A=20 и A=18 соответственно. Мы ищем минимальное! Проверяем A=18 и видим, что при этом значении 3 уравнение проходит через точку c координатами (19; 37), а точка с координатами (19; 38) лежит ВНЕ допустимых областей! Значит ответ A=19 (Время не более 2 минут).

Программа

Перед написанием программы рекомендуется также графически изобразить задачу и использовать принцип "РАЗРАБОТКА ЧЕРЕЗ ТЕСТИРОВАНИЕ".

Результат 19 (Время не более 10 минут).

Ответ

Пример 1

19 (Время не более 2-10 минут)