Задание 15

На числовой прямой даны два отрезка: P = [15; 40] и Q = [21; 63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение

(x ∈ P) → (((x ∈ Q) /\ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Теория

Данное задание заключается в умении анализировать логические выражения и подборе необходимого диапазона чисел или значения. Быстро данный вид задач - с указанными отрезками или областями на плоскости можно решить аналитически. Основные логические операции приведены в теории Задания_2 демо 2025 года или Материалы - Алгебра логики.

Решение

Изобразим указанные отрезки P и Q на числовой прямой

Далее проанализируем исходное логическое выражение

Логическое выражение должно быть истинно и легко заметить, что если выражение 1 ложно (x вне отрезка P), то импликация V всегда истинна. Значит необходимо рассмотреть все x внутри отрезка P - от 15 до 40. Выражение IV для этого отрезка не должно быть ложным (0), т.е. выражение III для этого отрезка не может быть истинным (выражение II внутри P ложно). Выражение III будет истинным тогда, когда 2 - истинно и I - тоже истинно. Но I будет истина если отрезок A вне отрезка Q, следовательно отрезок A должен быть внутри Q. Так как мы рассматриваем x внутри P, то ответ - пересечение отрезков Q и P - от 21 до 40 и минимальная длина отрезка A будет 40 - 21 = 19.

Если анализ исходного выражения вызывает сложности, то попробуйте выполнить преобразования используя законы алгебры логики

(x ∈ P) → (((x ∈ Q) /\ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)) (преобразуем первую и вторую импликации) =

¬(x ∈ P) \/ ¬((x ∈ Q) /\ ¬(x ∈ A)) \/ ¬(x ∈ P) (применяем закон де Моргана для конъюнкции) =

¬(x ∈ P) \/ ¬(x ∈ Q) \/ ¬¬(x ∈ A) \/ ¬(x ∈ P) (двойное отрицание и повторение) =

¬(x ∈ P) \/ ¬(x ∈ Q) \/ (x ∈ A) (применяем закон де Моргана для первой дизъюнкции) =

¬((x ∈ P) /\ (x ∈ Q)) \/ (x ∈ A) (преобразуем дизъюнкцию в импликацию) =

((x ∈ P) /\ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)

Очевидно, что для x внутри отрезка P и x внутри отрезка Q, x должен быть внутри A.

Ответ

19 (Время не более 5 минут)