ЕГЭ-2015 задание 16.

Кодирование чисел. Системы счисления.

Теория

Необходимо знать принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления

Чтобы перевести число 12345N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной ее разряду:

4 3 2 1 0 ← разряды
1 2 3 4 5N = 1•N4 + 2•N3 + 3•N2 + 4•N1 + 5•N0   (где N0 = 1)

Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N. Две последние цифры – это остаток от деления на N2, и т.д.

Число 2N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

 Количество нулей степени 2 в двоичном представлении

Число 2N-1 в двоичной системе записывается как N единиц:

Количество нулей степени 2 минус 1 в двоичном представлении

Число 2N–2K  при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

Количество нулей и единиц 2 в степени N минус 2 в степени K в двоичном представлении

Так как 2N + 2N = 2 • 2N = 2N+1, получаем 2N = 2N+1 - 2N, откуда следует, что -2N = -2N+1 + 2N   

Задача

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:

42020 + 22017 - 15?

Решение

Приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 15 = 16 – 1 = 24 – 1.

42020 + 22017 – 15  = (22)2020 + 22017 – 24 + 1 = 24040 + 22017 - 24 + 20

Вспомним,  число 2N–2K  при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:  

Общее число единиц равно 1 + (2017 - 4) + 1 = 2015

Ответ

2015

Яндекс.Метрика